תרגול למבחן מתמטיקה

מחר, רביעי 21.10

שלוש שאלות מהלוח של המורה, פתורות באותה דרך, ותרגול דומה אחרי כל אחת.

הלוח של המורה

שאלה 69

פותרים את המשוואה. x הוא הנעלם ו-b הוא פרמטר.

b²(x - 1) = 6(bx - 2b + 6)

הפתרון, שלב אחרי שלב

שלב 1. פותחים סוגריים. כופלים כל איבר בסוגר.

b²x - b² = 6bx - 12b + 36

שלב 2. מעבירים אגפים. האיברים עם x לצד שמאל, האיברים בלי x לצד ימין. כשאיבר עובר אגף, הסימן שלו מתהפך.

b²x - 6bx = b² - 12b + 36

שלב 3. מוציאים x כגורם משותף בצד שמאל. את צד ימין מפרקים לנוסחת כפל מקוצר.

x(b² - 6b) = (b - 6)²

שלב 4. רוצים לחלק ב-(b² - 6b). מותר לחלק רק במספר שאינו אפס, לכן כותבים תנאי ומפרקים אותו.

b² - 6b ≠ 0 → b(b - 6) ≠ 0 → b ≠ 0 , b ≠ 6

שלב 5. מחלקים ומצמצמים. את (b - 6) מותר לצמצם כי b ≠ 6.

x = (b - 6)² / (b(b - 6)) → x = (b - 6) / b

שלב 6. התשובה כוללת גם את התנאי.

x = (b - 6) / b , b ≠ 0 , b ≠ 6

טעות שהמורה הראתה בלוח

לא מצמצמים חלק מהמונה

בביטוי (b - 6) / b אי אפשר לצמצם את b שבמכנה עם b שבמונה, כי במונה יש חיסור. בלוח המורה בודקת עם b = 20: התשובה הנכונה היא 14/20 = 7/10. צמצום שגוי היה נותן -6.

תרגול

אותה שאלה במילים אחרות. פותרים במחברת ואז פותחים את הפתרון.

1) a²(x - 1) = 4(ax - 2a + 4)

הצג פתרון

a²x - a² = 4ax - 8a + 16

a²x - 4ax = a² - 8a + 16

x(a² - 4a) = (a - 4)²

a² - 4a ≠ 0 → a(a - 4) ≠ 0 → a ≠ 0 , a ≠ 4

x = (a - 4)² / (a(a - 4)) = (a - 4) / a

x = (a - 4) / a , a ≠ 0 , a ≠ 4

2) m²(x - 1) = 3(mx - 2m + 3)

הצג פתרון

m²x - m² = 3mx - 6m + 9

m²x - 3mx = m² - 6m + 9

x(m² - 3m) = (m - 3)²

m² - 3m ≠ 0 → m(m - 3) ≠ 0 → m ≠ 0 , m ≠ 3

x = (m - 3)² / (m(m - 3)) = (m - 3) / m

x = (m - 3) / m , m ≠ 0 , m ≠ 3

לא מהלוח

מה קורה כשהמחלק שווה אפס? רק אם השאלה שואלת

זה לא היה כתוב בלוח. זה מגיע מהשורה x(b² - 6b) = (b - 6)² שכבר יש לך, ואפשר להשתמש בו רק אם השאלה מבקשת לפתור לכל ערך של הפרמטר.

b = 0: השורה נהיית x · 0 = 36, כלומר 0 = 36. אין פתרון.
b = 6: השורה נהיית x · 0 = 0. לכל x יש פתרון.

הלוח של המורה

שאלה 50

פותרים את המשוואה. x הוא הנעלם ו-a הוא פרמטר.

2x - 25a² = 5ax - 4

הפתרון, שלב אחרי שלב

שלב 1. מעבירים אגפים. האיברים עם x לשמאל, השאר לימין.

2x - 5ax = 25a² - 4

שלב 2. מוציאים x כגורם משותף. בצד ימין יש הפרש ריבועים: 25a² = (5a)² ו-4 = 2².

x(2 - 5a) = (5a - 2)(5a + 2)

שלב 3. רוצים לחלק ב-(2 - 5a), לכן כותבים תנאי שהוא לא אפס.

2 - 5a ≠ 0 → 2 ≠ 5a → a ≠ 2/5 (0.4)

שלב 4. מחלקים.

x = (5a - 2)(5a + 2) / (2 - 5a)

שלב 5. שמים לב ש-(5a - 2) ו-(2 - 5a) הפוכים בסימן. חלוקה של שני דברים הפוכים נותנת -1, כמו (a - b) / (b - a) = -1 או 8 / (-8) = -1.

(5a - 2) / (2 - 5a) = -1 → x = -(5a + 2)

שלב 6. התשובה, עם התנאי.

x = -5a - 2 , a ≠ 2/5

תרגול

פותרים במחברת ואז פותחים את הפתרון.

1) 3x - 16t² = 4tx - 9

הצג פתרון

3x - 4tx = 16t² - 9

x(3 - 4t) = (4t - 3)(4t + 3)

3 - 4t ≠ 0 → 3 ≠ 4t → t ≠ 3/4

x = (4t - 3)(4t + 3) / (3 - 4t)

הפוכים בסימן: (4t - 3) / (3 - 4t) = -1

x = -4t - 3 , t ≠ 3/4

2) 5x - 49s² = 7sx - 25

הצג פתרון

5x - 7sx = 49s² - 25

x(5 - 7s) = (7s - 5)(7s + 5)

5 - 7s ≠ 0 → 5 ≠ 7s → s ≠ 5/7

x = (7s - 5)(7s + 5) / (5 - 7s)

הפוכים בסימן: (7s - 5) / (5 - 7s) = -1

x = -7s - 5 , s ≠ 5/7

לא מהלוח

מה קורה כשהמחלק שווה אפס? רק אם השאלה שואלת

זה לא היה כתוב בלוח. אם a = 2/5, השורה x(2 - 5a) = (5a - 2)(5a + 2) נהיית x · 0 = 0 · 4, כלומר 0 = 0. לכל x יש פתרון.

הלוח של המורה

השאלה בלוח

f(x) = x³(5 - x)³(x + 2)²

שואלים: איפה הפונקציה חיובית ושלילית, איך נראה הגרף, וכמה פתרונות יש כשהפונקציה שווה למספר נתון.

שרטוט הגרף, לפי הסדר בלוח

שלב 1. שורשים. משווים כל גורם לאפס.

x = 0 , x = 5 , x = -2

שלב 2. סוג השורש לפי המעריך של הגורם (ריבוי השורש).

שורש	מעריך	מה הגרף עושה
x = 0	3 (אי-זוגי)	חותך את ציר x ומתפתל
x = 5	3 (אי-זוגי)	חותך את ציר x ומתפתל
x = -2	2 (זוגי)	משיק לציר x ולא חותך

שלב 3. קצוות הגרף. כופלים את הגורמים בלי המספרים, ורואים מה החזקה הגבוהה והסימן שלה. שימו לב: הגורם (5 - x) נותן -x.

x³ · (-x)³ · x² = -x⁸ (3 + 3 + 2 = 8)

החזקה 8 זוגית והסימן שלילי, לכן שני הקצוות הולכים למטה.

שלב 4. מציירים. מתחילים מלמטה משמאל, עוברים בשורשים לפי הטבלה, ומשתמשים בנקודות הנתונות.

נתון בשאלה

נקודת המקסימום (2 , 8) ונקודת המינימום (-1 , -2). הן נתונות. לא מחשבים אותן מהנוסחה ולא מציבים כדי לבדוק אותן.

איך הגרף נראה

עולה מלמטה משמאל עד (-2 , 0), נוגע בציר x ולא חותך.
יורד למינימום (-1 , -2).
עולה ועובר את ציר x בנקודה (0 , 0), עם פיתול.
עולה למקסימום (2 , 8) ויורד.
עובר את ציר x בנקודה (5 , 0), עם פיתול, וממשיך למטה.

סימן הפונקציה

בכל קטע בודקים את הסימן של כל גורם. אפשר גם לקרוא מהגרף: מעל ציר x חיובית, מתחתיו שלילית.

קטע	הסימן של f
x < -2	שלילית
-2 < x < 0	שלילית
0 < x < 5	חיובית
x > 5	שלילית

דוגמה בקטע -2 < x < 0: x³ שלילי, (5 - x)³ חיובי, (x + 2)² חיובי תמיד. מכפלה: שלילי.

ב-x = -2 הסימן לא מתחלף, כי השורש זוגי.

כמה פתרונות יש כשהפונקציה שווה למספר

מציירים קו אופקי במספר הזה, וסופרים כמה פעמים הוא פוגש את הגרף.

המשוואה	פתרונות	למה
f(x) = 8	1	הקו נוגע רק בנקודת המקסימום
f(x) = 5	2	הקו חותך בדרך למעלה ובדרך למטה
f(x) = -2	3	חותך משמאל, נוגע במינימום, חותך מימין
f(x) = 10	אין	10 גבוה מהמקסימום 8
f(x) = -100	2	הקצוות יורדים למטה, אז הקו חותך פעם בכל קצה

השאלה "האם יש פתרון" היא אותה שאלה: יש פתרון אם הקו פוגש את הגרף.

תרגול 1

g(x) = (x + 2)(x - 1)²(4 - x)³

נתון: נקודות מקסימום מקומי (-1 , 6) ו-(3 , 8). מצאו שורשים וסוג כל שורש, קצוות, סימן, ותארו את הגרף. כמה פתרונות יש למשוואות הבאות? g(x) = 7 , g(x) = 6 , g(x) = 0 , g(x) = -3. ויש פתרון בכלל במשוואות אלה? g(x) = 9 , g(x) = -100.

הצג פתרון

שורשים: x = -2 (מעריך 1, חותך), x = 1 (מעריך 2, משיק), x = 4 (מעריך 3, חותך ומתפתל).

קצוות:

x · x² · (-x)³ = -x⁶

החזקה 6 זוגית והסימן שלילי, לכן שני הקצוות למטה.

סימן: x < -2 שלילית. -2 < x < 1 חיובית. 1 < x < 4 חיובית. x > 4 שלילית. ב-x = 1 הסימן לא מתחלף.

הגרף: עולה מלמטה משמאל, חותך ב-(-2 , 0), מגיע למקסימום (-1 , 6), יורד ונוגע בציר ב-(1 , 0) ועולה שוב, מגיע למקסימום (3 , 8), יורד וחותך ב-(4 , 0) עם פיתול, וממשיך למטה.

פתרונות:

g(x) = 7	2	7 מעל 6, אז רק הגבעה הימנית (עד 8) נחתכת, פעמיים
g(x) = 6	3	נוגע במקסימום השמאלי, וחותך את הימני פעמיים
g(x) = 0	3	השורשים -2, 1, 4
g(x) = -3	2	פעם בכל קצה
g(x) = 9	אין	גבוה מ-8
g(x) = -100	2	הקצוות יורדים, חותך פעם בכל קצה

תרגול 2

h(x) = x(x - 2)²(x + 3)³

מצאו שורשים וסוג כל שורש, קצוות וסימן.

הצג פתרון

שורשים: x = 0 (מעריך 1, חותך), x = 2 (מעריך 2, משיק), x = -3 (מעריך 3, חותך ומתפתל).

קצוות:

x · x² · x³ = x⁶

החזקה 6 זוגית והסימן חיובי, לכן שני הקצוות למעלה.

סימן: x < -3 חיובית. -3 < x < 0 שלילית. 0 < x < 2 חיובית. x > 2 חיובית. ב-x = 2 הסימן לא מתחלף.

הגרף: יורד מלמעלה משמאל, חותך ב-(-3 , 0) עם פיתול, נמצא מתחת לציר, חותך ב-(0 , 0) ועולה, יורד ונוגע בציר ב-(2 , 0) מלמעלה, ועולה שוב למעלה.

הדף של המורה

שאלות 5 ו-6: נכון או לא נכון על פונקציות חזקה

שאלה 5: נכון או לא נכון

קבעו אם הטענות נכונות או לא. נסו קודם לבד, ואז פתחו את התשובה.

א. הפונקציה f(x) = x⁷¹ + 1 היא פונקציה אי-זוגית.

הצג תשובה

לא נכון

פונקציה אי-זוגית מקיימת f(-x) = -f(x). נבדוק:

f(-x) = (-x)⁷¹ + 1 = -x⁷¹ + 1 -f(x) = -x⁷¹ - 1

שני הביטויים לא שווים, לכן הפונקציה לא אי-זוגית. הפונקציה x⁷¹ לבדה כן אי-זוגית, אבל ה-1+ מזיז את הגרף למעלה ושובר את הסימטריה.

ב. לכל פונקציות חזקה f(x) = xⁿ, n טבעי, יש לפחות שתי נקודות משותפות.

הצג תשובה

נכון

כל הגרפים עוברים בשתי הנקודות האלה:

(0 , 0), כי 0ⁿ = 0
(1 , 1), כי 1ⁿ = 1

ג. אם f(x) = x²ⁿ, n טבעי, אז f(x) > 0 עבור x שלילי.

הצג תשובה

נכון

המעריך 2n זוגי, לכן (-x)²ⁿ = x²ⁿ. מספר שלילי בחזקה זוגית נותן מספר חיובי. למשל (-3)² = 9. הגרף של חזקה זוגית נמצא מעל ציר x (חוץ מהנקודה (0 , 0)).

ד. אם f(x) = x¹⁰ אז למשוואה f(x) = a יש פתרון אחד לפחות.

הצג תשובה

לא נכון

המעריך 10 זוגי, לכן x¹⁰ אף פעם לא שלילי. אם a שלילי, אין פתרון. למשל x¹⁰ = -1 לא אפשרי. בגרף: קו אופקי מתחת לציר x לא פוגש את הגרף.

שאלה 6: נכון או לא נכון

קבעו אם הטענות נכונות או לא.

א. כל הפונקציות f(x) = xⁿ, n טבעי, עולות עבור x > 0.

הצג תשובה

נכון

כשהמספר החיובי גדל, גם החזקה שלו גדלה. אז בצד ימין של ציר y הגרף עולה, בין אם המעריך זוגי ובין אם הוא אי-זוגי.

ב. אם f(x) = x⁷ אז קיים a כך שמתקיים f(a) = -100.

הצג תשובה

נכון

המעריך 7 אי-זוגי, לכן הגרף עולה מלמטה משמאל למעלה מימין ועובר בכל גובה, גם בגובה -100. המספר a הוא השורש השביעי של -100, והוא מספר שלילי.

ג. קיים מספר a כך שמתקיים x⁹ ≥ a לכל x.

הצג תשובה

לא נכון

המעריך 9 אי-זוגי, לכן הגרף יורד למטה בלי סוף כאשר x שלילי וגדול בערכו המוחלט. לכל a שנבחר, יש x שהערך שלו קטן מהמספר a. למשל a = -1000: עבור x = -10 מקבלים (-10)⁹ = -1,000,000,000, וזה קטן מהמספר -1000.

הכול מבוסס על הלוח שצילמת.

תרגול למבחן מתמטיקה

הלוח של המורה

שאלה 69

הפתרון, שלב אחרי שלב

טעות שהמורה הראתה בלוח

תרגול

לא מהלוח

הלוח של המורה

שאלה 50

הפתרון, שלב אחרי שלב

תרגול

לא מהלוח

הלוח של המורה

השאלה בלוח

שרטוט הגרף, לפי הסדר בלוח

איך הגרף נראה

סימן הפונקציה

כמה פתרונות יש כשהפונקציה שווה למספר

תרגול 1

תרגול 2

הדף של המורה

שאלה 5: נכון או לא נכון

שאלה 6: נכון או לא נכון

לפני המבחן

משוואה עם פרמטר

פולינום בצורה מפורקת